华罗庚是中国现代数学的奠基人之一，他在数学领域取得了许多卓越的成就，以下是他的主要科学成就：

数论研究

华罗庚在数论方面有着深入的研究，尤其是在解析数论领域。他解决了高斯完整三角和的估计难题，并提出了著名的华氏定理，这一成果在国际数学界产生了深远影响。

他在华林和塔里问题的改进方面也做出了重要贡献，三角和研究成果被国际数学界称为“华氏定理”。

矩阵几何学

华罗庚在矩阵几何学领域取得了显著成就，研究了矩阵的性质和变换规律，提出了许多新的数学概念和定理，为矩阵几何学的发展注入了新的活力。

典型群与自守函数论

他是典型群和自守函数论等多方面研究的创始人和开拓者，这些研究在国际上具有很高的声誉。

多复变函数论

华罗庚在多复变函数论领域的研究领先西方数学界10多年，是国际上有名的“典型群中国学派”的开创者。

偏微分方程与高维数值积分

他在偏微分方程和高维数值积分等领域也取得了突破性的进展。

数学教育与普及

华罗庚不仅是一位杰出的数学家，还致力于数学教育和科普工作。他曾任中国科学院数学研究所所长，培养了大批优秀的数学家，如陈景润、王元等，并推广了优选法和统筹法，将数学应用于工业生产。

国际影响力

华罗庚的研究成果在国际数学界具有广泛的影响力，许多以他的名字命名的数学科研成果如“华氏定理”、“华氏不等式”、“华—王方法”等，至今仍被广泛引用和研究。

综上所述，华罗庚在数学领域的卓越成就不仅丰富了中国现代数学的理论宝库，也为国际数学界的发展做出了重要贡献。他被誉为“中国现代数学之父”，是中国乃至世界数学史上的一位杰出人物。